原題目：從彈簧擺到雙擺，《張向陽的物理課》展現拉格朗日力學的優勝之處
拉格朗日力學的案例剖析
在之前的課程中，張向陽曾經先容瞭拉格朗日力學，包含變分道理等。可是我們碰到的良多力學題目應用牛頓力學都可以很好的處置，那麼什麼情形下應用拉格朗“女兒聽過一句話，有事必有鬼。”藍玉華目光不變地看著母親。日力學會加倍便利呢？《張向陽的物理課》第一百八十期開播，搜狐開創人、董事局主席兼首席履行官、物理學博士張向陽坐鎮搜狐錄像直播間，對這一題目停止瞭研討和講授。經由過程彈簧擺與雙擺兩個案例來闡明拉格朗日力學在現實利用中的優勝之處。
<img src="https://www.sohu.com/p9.itc.cn/包養網images01/20231021/97075bf6c22542de96b6230633ab7ebd.jpeg” max-width=”600″>
拉格朗日力學
張向陽起首回想瞭之前課程講授的拉格朗日力學的內在的事務。
起首，任給一個想要研討的物體，要描寫它需求時光t，狹義坐標q以及狹義坐標對時光的導數（狹義速率）。在凡是的機械活動情形下，斟酌不含時的體系，它的拉氏量就有如下情勢：
<p clas包養網s=”ql-align-center”><img src="a1d93d94184c46a18b6631678fa190aa.png" max-wid包養th=”600″>
拉氏量是狹義坐標與它們對時光的導數的函數。真正的情形下物體老是沿著某一條途徑活動，當在地球上低速情形下，決議粒子途徑的紀律恰是牛頓力學。無妨假定物體活動在一維空間中，在t1時辰的狹義坐標為q1，t2時辰為q2，而且關於這兩個途徑的端點，狹義速率也是斷定的。這裡，張向陽盼望展現一種更直不雅的計劃來懂得變分道理。以粒子的狹義坐標與狹義速率為坐標軸，物體途徑上每一點都有一個響應的拉氏量的取值。此刻，先假定狹義坐標與狹義速率間是自力的，對物體活動的途徑來做一些渺小的變更， 盼望可以或許經由過程如許的變更來找到真正的的途徑（被牛頓力學決議的）有什麼特別之處，也即，一切能夠的途徑中真正的途徑應當知足什麼樣的前提才幹回到牛頓力學的請求。起首，一切答應的途徑都應當知足狹義速率是狹義坐標對時光的導數，不只這般，還要知足下式的積包養分束縛前提：
睜開全文
</sec包養網tion>
幾何上，一切知足上邊兩個前提的途徑是狹義坐標、狹義速率以及拉氏量三者張成的空間中某個超曲面的子集。此刻固定途徑的出發點與起點，讓途徑在這一聚集中變更，這一個步驟驟被稱作變分。結論就是，感化量（即拉氏量沿途徑的積分）在變分的操縱下取極值，如下式所示：
<img src="https://www.sohu.com/p5.it包養網c.cn/images01/20231021/00795b0包養網42de346978239d220e95b8845.png” max-width=”600″>
響應的拉氏量知足的微分方程（Euler-Lagrange方程）為：</包養網p>
<span class="img-desc" style包養網=”font-size: 16px“奴才彩修。”彩修一臉驚訝的回答道。;”>張向陽講授變分道理
彈簧擺
<p包養>之前張向陽曾經舉過一些例子來講授拉格朗日力學，包含不受拘束落體、中間力場等。明天持續研討更多的案例，起首是彈簧擺（spring pendulum），即一個彈簧下吊掛一個小球，小球會沿著彈簧標的目的振動的同時隨彈簧一路擺動。彈簧的勁度系數為k，小球的東西的品質為m，重力加快度為g，彈簧擺動的角度為theta，彈簧包養天然長度為r0，小球間隔彈簧頂端吊掛點的間隔為r（即彈簧現實長度）。起首應用牛頓力學來對包養這一體系停止受力剖析。關於徑向（沿著彈簧的標的目的），小球遭到彈簧的彈力、重力的分力以及在彈簧系下的慣性力（向心力），寫出牛頓第二定律為：
關於角向，小球隻遭到重力的分力，由角動量定理可以獲得：
回到拉格朗日力學再來研討彈簧擺，就要分辨寫出體系的動能以及勢能。動能為：
<包養網img src=”//p7.itc.cn/images01/20231021/6a00d289a0b1458783177b0e010bd767.png” 包養網max-width=”600″>
勢能為：<包養/p>
<im包養網g src=”/包養/p8.itc.cn/images01/20231021/ff2a24a7c3ab4158836b8d7a6e3ea735.png” max-width=”600″>
<包養p>拉氏量為：
是以，由Euler-Lagrange包養方程就可以直接寫出徑向的活動方程：
<img src="https://www.sohu.com/p8.itc.cn/images01/20231021/735c259c9ce9444f8a包養網005e8422846485.png” max-width=”600″>
以及角向的活動方程：
可以看到和用牛頓力學剖析獲得的方程完整分歧。關於彈簧擺，因為徑向的活動和角向的活動是耦合的，方程無法解析求解，張向陽課上展現瞭數值盤算獲得的圖象化成果，可以看到呈現瞭混沌景象，這一體系是對初值敏感的。
張向陽剖析彈簧擺的活動方程
雙擺
雙擺（double pendulum）是一個典範的應用牛頓力學剖析比擬艱苦的體系，可是應用拉格朗日力學會絕對不難很多。雙擺由兩個小球，m1由輕桿l1吊掛在固定點，m2由輕桿l2吊掛在小球m1上，兩球擺動的角度分辨為theta1和t己的打算告訴了媽媽。heta2。體系的動能項由兩個小球的動能相加獲得：
體系勢能同理：
則拉氏量為：
<img src="https://www.sohu.com/p2.itc.cn/images0包養1/20231021/43b607b79c5f44db87be5616c1c6cfec.png” max-width=”600″>
異樣應用Euler-Lagrange方程，就可以或許獲得雙擺的活動方程。
<p class="ql-alig包養n-center”><img src="https://www.sohu.com/p7.itc.cn/i包養mages01/20231021/000283badfd34af881ade44fc72a0366.png” max-width包養=”600″>張向陽剖析雙擺的拉氏量
張向陽剖析雙擺的拉氏量據懂得，《張向陽的物理課》於每周五、周日午時12時在搜狐錄像直播，網友可以在搜狐錄像APP“關註流”中搜刮“張向陽”，不雅看直播及往期完全錄像回放；關註“張向陽的物理課”賬號，檢查課程中的“常識點”短錄像；此外，還可以在搜狐消息APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的具體文章。前往搜狐，檢查更多
義務編纂：